二次函數

f(x)=ax^2+bx+c

觀察
1. a>0 開口向上,  a<0 開口向下

2. ab (左同,右異) 由頂點位置觀察 ab異號或同號

3. 判別式D=b^2-4ac
D>0 <=> 兩相異實根(與x軸相交兩點)
D=0<=> 兩相等實根(與x軸相交一點)
D<0<=> 無實根(與x軸沒交點)

4. 頂點(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))

ggb code

a
b
c
f(x)=a x^2+b x+c
g:y=0
intersect(f(x),g)

D=b^2-4ac
(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))

觀察
1. a 動畫
2. b 動畫
3. c 動畫

https://www.geogebra.org/graphing/abswdvsu

二次函數圖形

利用geogebra
畫出二次函數圖形

• 一般式 f(x)=ax^2+bx+c
• 頂點式 f(x)=a(x-h)^2+k

1.   頂點V(h,k)
2.   對稱軸 x=h
3.   極值  a>0, x=h, ymin=k

                     a<0, x=h, ymax=k

                                            配方法
    一般式f(x)=ax^2+bx+c  =====> 頂點式 f(x)=a(x-h)^2+k

(1)開口方向
  (i) a>0  ==>開口向上 ==>最低點 ==>ymin
  (ii) a<0 ==>開口向下 ==>最高點 ==>ymax

(2)判斷根的性質
根的判別式D=b^2-4ac
 (i)   D>0 兩相異實根
 (ii)  D=0 兩相等實根
 (iii) D<0 共軛虛根


繪圖
1.(x+1)(x-1)    兩相異實根 x=1,-1
2.(x-1)^2         兩相等實根 x=1,1
3.x^2+1          共軛虛根, x = i, -i 

4. -(x+1)(x-1)
5. -(x-1)^2
6. -x^2-1

(3) 平移
原函數   y=a(x-h)^2+k

(i)   上移 1 單位 y=k --> y=k+1
(ii)  下移 1 單位 y=k -->y=k-1
(iii) 左移 1 單位  (x-h)-->(x-h+1)
(iiii)右移 1 單位  (x-h)--->(x-h-1)

原函數  y=(x-2)^2-4

求平移後之函數,並繪圖
(1)上移 3 單位  y=(x-2)^2-4+3==> y=(x-2)^2-1
(2)下移 4 單位  y=(x-2)^2-4-4==> y=(x-2)^2-8
(3)左移 1 單位  y=(x-2+1)^2-4==> y=(x-1)^2-4
(4) 右移 2 單位  y=(x-2-2)^2-4==> y=(x-4)^2-4