向量2

1. a=(1,2),b=(3,4) 求

1. a+b
2. a-b
3. 3a+2b
4. a • b                      Dot(a,b)
5. 3a•2b=6a•b
6. a × b                      Cross(a,b)
7. 3a × 2b=6a × b 
8. |3a|=3|a|                 abs(3a)
9. |b|
10. a•b/( |a| |b|)             Dot(a,b)/(abs(a) abs(b))

2.A=(1,2),B=(3,4)

1. 向量AB=B-A         vector(A,B)
2. 向量BA=A-B         vector(B,A)
3. 向量OA                  vector(O,A)
4. 向量OB                  vector(O,B)
5. OA • OB

3. 成績(國文,英文,數學,物理)
有 a,b,c 三位同學成績如下:

a=(90,80,70,55)

b=(80,65, 65, 60)

c=(70, 70,60,60)

求 a與b 或 a與c 成績較接近

hint: cos(θ),  cos(θ)值越大越接近
geogebra 無法用 4 維資料
可以改用 R,octave, python, ...

R code

a=c(90,80,70,55)

b=c(80,65, 65, 60)

# Euclidean distance(歐式距離) of a,b
Ea=sqrt(sum(a^2))
Eb=sqrt(sum(b^2))

#a.b
a%*%b

#cos(theta)=a.b/(|a||b|)
a%*%b/(Ea*Eb)

內積(點積；dot):

• 向量a在向量b上的投影,再乘以b的長度=向量b在向量a上的投影,再乘以a的長度
• 有交換性 a•b=b•a
• a•b=|a||b|cos(θ)
• a || b ⇔ a=tb, t∈ℜ(成倍數關係) (i.e. (x1,y1)=t(x2,y2) );⇔ x1/x2=y1/y2
• a ⊥ b ⇔ a•b=0(無投影量)⇔ x1x2+y1y2=0
• 純量
• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF

外積(叉積 ; cross):

• a,b 兩向量所展開的平行四邊形面積
• 無交換性 a × b ≠ b × a (a × b = -(b × a)) 
• a×b=|a||b|sin(θ)
• a || b ⇔ a×b=0(無展開的平行四邊形面積) ⇔ x1y2-x2y1=0
• 向量(有±)
• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF

(1) 已知向量a, b之座標

 a=(x1,y1),b=(x2,y2)

• 內積 a•b=x1*x2+y1*y2

• 外積 a × b=x1*y2-x2*y1 (行列式的值)

(1) 已知向量a, b之長度及夾角

• 內積 a•b=|a||b|cos(θ)

• 外積 a × b=|a||b|sin(θ)

geogebra code

長度|a|=abs(a)

內積 a•b = Dot(a,b)

外積 a × b = Cross(a,b)

向量三重積(行列式值)
a•(b × c)=Dot(a,Cross(b,c))

根號 a = sqrt(a)

cos(θ)=Dot(a,b)/(abs(a) abs(b))