105-2第三次段考sim

$$(y-4)^2=16(x-2)$$ $$V(2,4)$$ $$F(6,4)$$ $$L:x=-2$$

$$(x-2)^2=16(y-4)$$ $$V(2,4)$$ $$F(2,8)$$ $$L:y=0$$

$$\displaystyle{\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{9}=1}$$ $$O(2,4)$$ $$a=5$$ $$b=3$$ $$c=4$$

$$\displaystyle{\frac{(y-4)^2}{25}+\frac{(x-2)^2}{9}=1}$$ $$O(2,4)$$ $$a=5$$ $$b=3$$ $$c=4$$

$$\displaystyle{\frac{(x-2)^2}{16}-\frac{(y-4)^2}{9}=1}$$ $$O(2,4)$$ $$a=4$$ $$b=3$$ $$c=5$$ $$L_1:3x+4y=22$$ $$L_2:3x-4y=-10$$

$$\displaystyle{\frac{(y-4)^2}{16}+\frac{(x-2)^2}{9}=1}$$ $$O(2,4)$$ $$a=4$$ $$b=3$$ $$c=5$$ $$L_1:4x-3y=-4$$ $$L_2:4x+3y=20$$

105-2第三次段考

105-2第三次段考 
範圍:二次曲線、(不考 馬可夫鏈、柯西不等式)

選擇7*4分=28分 
填充15*3分=45分
 作圖3*5分=15分 
計算3*10分=30分 
合計118分,滿分以100分計

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

Geogebra 解線性變換

octave 矩陣表示法
mirX=[1 0; 0 -1]

maxima 矩陣表示法
mirX:matrix([1,0],[0,-1])

Geogebra 矩陣表示法
mirX={{1,0},{0,-1}}

Geogebra 一次輸入很多指令
Execute[
"{ }",
"{ }",
"{ }"
  ]

 Execute[{
"mirX={{1,0},{0,-1}}",
"mirY={{-1,0},{0,1}}",
"mirO={{-1,0},{0,-1}}",
"P=(1,2)",
"mirX*P",
"mirY*P",
"mirO*P"
}]


Execute[{
"M={{6,0},{0,6}}",
"N={{1,1/2},{0,1}}",
"P={{1,0},{1/3,1}}",
"Q={{-1,0},{0,-1}}",
"X=(1,1)",
"MX=M*X",
"NX=N*MX",
"PX=P*NX",
"QX=Q*PX",
"T=Q*P*N*M"
}]

octave 解線性變換

% 代表註解符號
%mirror X (對x軸的鏡射變換矩陣)
mirX=[1 0; 0 -1]

在octave提示字元 > 下打入  mirX=[1 0; 0 -1],即會出現下面結果
 octave:> mirX=[1 0; 0 -1]
mirX =

   1   0
   0  -1
 
%mirror Y (對y軸的鏡射變換矩陣) 
 mirY=[-1 0; 0 1]

octave:> mirY=[-1 0; 0 1]
mirY =

  -1   0
   0   1

 

%mirror O (對原點的鏡射變換矩陣)
mirO=[-1 0 ; 0 -1]



octave:> p=[1 2]
p =

   1   2


%p的轉置 p'
 octave:> p=[1 2]'
p =

   1
   2


% p mirror X
mirX*p

%p mirror Y
mirY*p

%p mirror O
mirO*p

% mirror Y *(mirror X *p) 先對x軸鏡射 , 再對y軸鏡射
mirY*(mirX*p)

mirY*mirX*p

檢驗交換性                        
                                          ?
先對x軸鏡射 , 再對y軸鏡射= 先對y軸鏡射 , 再對x軸鏡射
                                            ?
先對x軸鏡射 , 再對原點鏡射= 先對原點鏡射 , 再對x軸鏡射
                                          ?
先對x軸鏡射 , 再對y軸鏡射=對原點鏡射

%mirX*mirY=mirY*mirX(有交換性)
mirX*mirY
mirY*mirX

%mirX*mirO=mirO*mirX(有交換性)
mirX*mirO
mirO*mirX

%mirX*mirY=mirO
mirX*mirY

%mirX*mirO=mirY
mirX*mirO

%mirY*mirO=mirX
mirY*mirO

%求線性變換矩陣M,N,P,Q; T
%         M          N          P          Q
%[1  1]-->[ 6 6]-->[9 6]-->[9 9]-->[-9 9]
%                      T=QPNM
%[1  1]---------------------------->[-9 9]
M=[6 0; 0 6]
N=[1 1/2; 0 1]
P=[1 0; 1/3 1]
Q=[-1 0;0 1]
T=Q*P*N*M

x=[1 1]'
Mx=M*x
Nx=N*Mx
Px=P*Nx
Qx=Q*Px

T*x


單位矩陣Identity

octave:> eye(2)
ans =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   1

octave:> eye(3)
ans =

Diagonal Matrix

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


零矩陣
octave:> zeros(2)
ans =

   0   0
   0   0

octave:> zeros(3)
ans =

   0   0   0
   0   0   0
   0   0   0

octave:> zeros(3,2)
ans =

   0   0
   0   0
   0   0



元素為1
octave:> ones(2)
ans =

   1   1
   1   1

octave:> ones(3)
ans =

   1   1   1
   1   1   1
   1   1   1

octave:> ones(3,2)
ans =

   1   1
   1   1
   1   1




行列式(determinat), det()
 A=[1 2;3 4]
 B=[4 3; 2 1]

octave:> det(A)
ans = -2


octave:> det(B)
ans = -2


det(AB)=det(BA)=det(A)det(B)

octave:> det(A*B)
ans =  4
octave:> det(B*A)
ans =  4
octave:> det(A)*det(B)
ans =  4



轉置矩陣transpose, A的轉置矩陣,寫為A'
det(A')=det(A)

octave:> A'
ans=

   1   3
   2   4

octave:> det(A')
ans = -2


(AB)'=B'A'

A=[1 2;3 4]
B=[4 3; 2 1]
A'
B'
(A*B)'
B'*A'

反矩陣(inverse)
A=[3 2; 2 -3]
inv(A)

求[3 2; 2 -3]x=[1 ;31]
即3x+2y=1
  2x-3y=31
其中
A=[3 2; 2 -3]
x=[x;y]
b=[1;31]

即,我們可用矩陣的表示法來解聯立方程式

A=[3 2; 2 -3]
b=[1;31]
x=inv(A)*b


驗證Ax=b ?
A*x

Geogebra

Geogebra檢視3D繪圖區 打勾,即可使用3D繪圖
105bv2s1sim 題目,使用Gegebra (簡稱ggb)電腦輔助教學
在ggb中, 大寫字母：如 A代表座標點,小寫字母：如a代表向量

1.
A=(1,0,-1)
B=(3,2,1)
C=(2,3,-1)
ab=B-A                   #向量AB
ac=C-A                    #向量AC
n=Cross[ab,ac]      # 法向量n=AB x AC
u=B-A                      #方向向量u=向量AB


向量AB=(2,2,2)
向量AC=(1,3,0)

n=向量AB x 向量AC =(2*0-2*3,-(2*0-2*1),2*3-2*1)
                                =(-6,2,4)

方向向量u=向量AB=(2,2,2)

(1) 直線AB的參數式
X=A+ut, t in R


x=1+? t
y=0+? t
z=-1+? t, t in R

(2)直線AB的比例式

x-1    y      z+1
---- = --- = ------
 ?       ?        ?

(3)垂直平分AB的平面方程式
 中點M=(A+B)/2=(2,1,0)
n=AB x AC

(x-2,y-1,z-0) . n=0


(4)過A, B, C三點的平面方程式
(x-1,y-0,z+1) . n=0
再將答案輸入命令列,即可繪出過A, B, C三點的平面方程式

(5) AB, AC所展開的平行四邊形面積

n=AB x AC
|n|即為 平行四邊形面積

2.
a = (1, −1, 2)
b = (2, 1, 1)
(1)
Dot[a,b]                       # a.b

(2)
Cross[a,b]                   # a x b

(3)
Dot[a,b]/(abs(a)*abs(b))   #cos(theta)

(4)
bhat=b/abs(b)          # unit b vector (b的單位向量)
Dot[a,bhat]*bhat     # a proj b

3.AB = (1, −4, 1),AC = (3, −1, −1),AD = (6, 3, 3),求所展開的平行六面體體積


Determinant[ <矩陣> ]  #行列式值

AB = (1, −4, 1)
AC = (3, −1, −1)
AD = (6, 3, 3)

AB = {1, −4, 1}      #把座標(1, −4, 1)改為矩陣元素表示法{1, −4, 1}
AC = {3, −1, −1}
AD = {6, 3, 3}

 Determinant[{AB,AC,AD} ]
 或
Determinant[{{1, −4, 1},{3, −1, −1},{6, 3, 3}} ]

105-2數學4 課綱

105-2數學4課綱
週次   內容
1 2/13-2/17 運算思維
2 2/20-2/24 平面向量
3 2/27-3/3 空間向量dot,cross,det
4 3/6-3/10 cosθ應用,a.b與a proj b之區別
5 3/13-3/17 平面方程式
6 3/20-3/24 平面方程式
7 3/27-3/31空間中的直線[3/30-31第一次段考]
8 4/3-4/7 空間中的直線
9 4/10-4/14 三元一次聯立方程式
10 4/17-4/21 三元一次聯立方程式
11 4/24-4/28 一次聯立方程式與矩陣
12 5/1-5/5 矩陣的運算
13 5/8-5/12 矩陣的運算
14 5/15-5/19 平面上的線性變換與二階方陣[5/18-19第二次段考]
15 5/22-5/26 平面上的線性變換與二階方陣
16 5/29-6/2 拋物線
17 6/5-6/9 拋物線[6/9畢業典禮]
18 6/12-6/16 橢圓
19 6/19-6/23 橢圓,雙曲線
20 6/26-6/30[6/27-28期末考]
參考書籍： 全華高中數學4 楊任孝 主編 ,全華高中數學4 習作, 歷屆試題.
成績計算： 平時40％：習作,筆記,小考,上台演習,電腦上機演習
                   三次段考60％：第一次,第二次,第三次段考
課程目標： 學習數學的邏輯思考,幾何概念,基本運算能力
                   養成主動學習,自學的能力
                   電腦與數學演算法做結合,輔助計算與學習



105-1數學3課綱
週次  內容
1 有向線段與向量  ,平面向量的坐標表示法
2 平面向量的內積  
3 平面向量的內積 
4 cosθ
5 平面向量的外積
6 平面向量的外積 
7 the law of sin
8 the law of cos
9 海龍公式   
10 一次方程組 
11 一次方程組 
12 Cramer's Rule
13 Cramer's Rule 
14 圓的方程式  
15 圓的方程式 
16 圓與直線的關係 
17 圓與直線的關係

參考書籍： 全華高中數學3 楊任孝 主編 ,全華高中數學3 習作, 歷屆試題.
成績計算： 平時40％：習作,筆記,小考,上台演習,電腦上機演習
                   三次段考60％：第一次,第二次,第三次段考